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増健入幕の      可能性を数学的に

1 :待った名無しさん:03/11/07 06:56
論ぜよ

2 :待った名無しさん:03/11/07 08:06
2%

3 :待った名無しさん:03/11/07 09:42
このスレがクソスレである可能性は99%

4 :待った名無しさん:03/11/07 15:27
4%

5 :待った名無しさん:03/11/11 19:53
5%

6 :132人目の素数さん :03/11/11 19:54
X^(p^e)−aがK[X]で可約なら
b∈K,a=b^pとなるbが存在することの証明。
(1)1の原始p乗根がKにないとき。
Kの代数閉包の元c,dでa=c^(p^e),dは原始p^e乗根となるものをとる。
定数項を比較してc^(p^(e−1))d^u∈Kとなるuが存在することが分かる。
d^(pu)=(c^(p^(e−1))d^u)^p/a∈Kからd^(pu)=1。
よってb=c^(p^(e−1))d^uとすればいい。
(2)1の原始p乗根がKにあるとき。
eがより小さいとき成り立つとする。
X^(p^e)−aが二つのX^pの定数でない多項式の積で表せるなら
X^(p^(e−1))−aが可約になるので条件を満たすbが存在する。
そうでないとき1の原始p乗根の一つをdとし
f(X)を最高次の係数が1のX^(p^e)−aの既約約元とすると
Π_{0≦i<p}f((d^i)X)はX^pの定数でない多項式の積なので
X^(p^e)−a=Π_{0≦i<p}f((d^i)X)。



7 :132人目の素数さん:03/11/11 20:02
増健学は自然科学ですが、唯一、理論onlyが認められている分野です
そーゆー意味で哲学と似てますが、哲学では、理論が存在しないというのも
時として認められてしまい、話がすすまなくなるので、ここでは省きます
本来、自然科学の立場から言えば、どんなに理論に矛盾がなくても、
観測し得ない空想上の事柄というのは無視されます。
「この世のものは全て1秒で10倍、2秒で100倍、というように
1秒毎にそれ以前の10倍の大きさになるはやさで大きくなっている」
という理論があった場合、これ自身には全く矛盾はありません。
ですが、増健学以外の自然科学の分野では、絶対に採用されることはないでしょう。
しかし、増健学ならば、既存の理論に対し、矛盾さえなければ、大いに取り上げられます。
それが、増健学の立場なのです。
たとえば先の「」で括った理論を数学で採用したとしましょう。
そうすると、3秒後には1000倍、n秒後には10^n倍、というように、
ちゃんと増健学ができるではありませんか
ちょっと脱線しましたが、


8 :132人目の素数さん:03/11/11 20:02
私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない。

9 :132人目の素数さん:03/11/11 20:03
21でも言ったけど 式変形のみにこだわるなって、
zeta(2)だけでどうしても非能率なことがしたいなら
逆三角関数でその手の値を連想しろ。例えば

∫[0 to 1]arcsin x /sqrt(1-x^2)dx=π^2/8 が似てるだろ。
もちろん主値で計算
arcsin(x)/sqrt(1-x^2)=Σ(n=0 to INF)1/sqrt(1-x^2) (2n-1)!!/(2n)!! x^(2n+1)/(2n+1)
項別積分できるから両辺積分して
∫[0 to 1] x^(2n+1)/sqrt(1-x^2)dx= (2n)!!/(2n+1)!!を代入すれば
Σ(n=0 to INF) 1/(2n+1)^2=π^2/8
奇数項と偶数項を分ければ
Σ(n=1 to INF)1/n^2=Σ(n=0 to INF)(2n+1)^2+Σ(n=1 to INF)(2n)^2
よって3/4Σ(n=0 to INF)1/n^2= π^2/8 でzeta(2)= π^2/6

これに比べれば増健入幕のエレガントさがわかるだろうか? 無理かな???



10 :132人目の素数さん:03/11/11 20:04
増健=nを無限大にしたとき、極限が0になる関数f(n)とg(n)を定義する。

f(n) = a^n
lim[n→∞]f(a,n) = lim[n→∞]a^n = 0
ただし、定数aの定義域は、0≦|a|<1となる複素数とする。

g(n) = b/n
lim[n→∞]g(n) = lim[n→∞]b/n = 0
ただし、定数bの定義域は、全ての複素数とする。

0^0は、f(n)^g(n)のnを無限大にしたときの極限値として定義できる。

0^0 = lim[n→∞]{f(n)^g(n)} = lim[n→∞]{(a^n)^(b/n)} = a^b

結局、0^0は、a^bでとり得る値の範囲で不定である。

bが0より大きな実数の場合、0^0は絶対値が1より小さな任意の複素数になる。
aが自然対数の底の逆数の場合、かつ、bが純虚数の場合、0^0は絶対値が1である任意の複素数になる。
aが0以外の場合、かつ、bが0より小さな実数の場合、0^0は絶対値が1より大きな任意の複素数になる。

ゆえに、増健の入幕可能性0^0は全ての複素数の範囲において不定である。


11 :132人目の素数さん:03/11/11 20:05
ゴールドバハ予想

4以上の全ての偶数はふたつの素数の和で表される。
6以上の全ての数は3つの素数の和で表される。
誰でも理解できる内容なのになんといまだ証明されてません。
1は素数として扱いません。4 = 2+2以外は全て奇素数の和となります。


双子素数

双子素数は無数に存在する。
双子素数は、5と7、11と13のように隣り合った素数のことです。
素数が無限に存在することは証明されています。
その証明の一つとして、全ての素数の逆数の和を取るというものがあります。
そうするとその和は発散します。ところが双子素数の逆数の和は収束します。
これで双子素数の数は非常に少ないということはわかるのですが、数が有限かどうかまではわかりません。


12 :132人目の素数さん:03/11/11 20:06
奇完全数

完全数は全て偶数である。
完全数とはその約数の和が元の数に等しくなるものです。
6= 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14等。この完全数ですが、今まで見つかったものは全て偶数です。
奇数の完全数は存在するのかどうかわかっていません。証明もありません。


カタラン予想

mp - nq = 1はm = q = 3、p = n = 2以外の解を持たない。
1952年、ルヴェックにより以下の定理が証明されました。
(n+1)p - nq = 1を満たす解はn = p = 2、q = 3だけである。
椎名健二さんはmまたはnが素数ならばカタラン予想が正しいことを証明しています。
1976年にタイドマンが、mp - nq = 1ならば m,n,p,q < Cという実質的な証明を与えました。
ただC = 1.06 * 1026とかいうとんでもない数なのでその間がまだ埋まっていません。


13 :132人目の素数さん:03/11/11 20:10
まず増健の入幕確率についてですが,対角線論法のごく標準的なものです。
自然数の全体Nから実数の全体Rへの写像f(すなわち実数列)が任意に
あたえられたとき,必ずその数列に含まれないような実数xが存在すると
いうことを,そのxを,数列{f(n)}から次のような規則で
実際につくることで示します。
まず,xの整数部分は0としましょう。
そうしてxの小数第1位をf(1)の小数第1位と異なるようにきめます。
(たとえばもしf(1)の小数第1位が5以外なら5,
 5ならば6とかいう規則で)
つぎにxの小数第2位をf(2)の小数第2位と異なるように(同じ規則で)
きめます。このようにつづけて,次々とxの各桁を決めて行きます。
そうすると,xの第n桁はf(n)の第桁と異なりますから,結局xは
f(n)のどれとも等しくないことがわかります。すなわちxは数列{f(n)}
にふくまれません。
これから,実数の全体Rを値域とするような数列{f(n)}は存在しないことが
結論できることになります。
(2)の排中律については,論理システムの問題で,排中律を使わないような
推論体系やそのモデル(直感主義モデル)について,ロジシャンのあいだで
詳しく調べられているようです。
排中律を使う通常の数学(古典論理の数学)とはかなり様子の違う状況が
えられるそうなのですが,わたしはあまり詳しくは知りません。
ここで詳しく議論されているようですが,私には解らない部分が多いです
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970523340


14 :132人目の素数さん:03/11/11 20:11
>増健実数列{f(n)} は具体的手続きで与えられるし,
>f(n) のどれとも異なる実数 x も{f(n)}を調べながら具体的に作れるわけです


 そう思います。増健数f(n)を1000番目まで作れば、その1000個と異な
る実数xは、根気があれば作れます。
 これは、f(n)のnが10でも1000000でも1000000000でも変わらな
いこともわかります。nの大小は、この際関係ないですね。なぜなら、xを作
る「規則」が与えられているのだから、具体的手続きによってxを作り出す
行為を何回でも繰り返せるから。
 この「数を作る、ある規則に従うのであれば、何回でもその手続きを繰り
返してよい」というのは可能無限の立場でもあるわけですが、この場合、「
実数全体」なんていう考えが登場する余地がないと思うのですが?
 だって、実数xを作る手続きは何回でも繰り返せるのだから、「ここまで
が実数全体」という風に枠で囲ってみても、その枠からはみ出す次の実数は
手続きを実行すればあっという間に作れるじゃないですか。
 だから、60さんが言うような「実数全体」なんて概念が、僕には理解で
きないのです。対角線論法というのは、>>72さんが言うように、「これまで
の手続きで作り出したどの実数とも一致しない、新しい実数を作り出す方法」
でしかないのであって、「自然数全体と実数全体の濃度が異なることを証明
する方法」ではないのでは、と思うのです。




15 :132人目の素数さん:03/11/11 20:12
増健数S⊂R は可算集合だから1列に並べることができます。
トランプのカードのように重ねられていると思ってください
あと2つの箱AとB,それとA,B2つの状態をとるスイッチF
があると考えてください。
まずはじめにSから2枚とり小さい方をAに大きい方をBにいれ
スイッチFをAとしておきます。
以下Sから一枚づつ取り出し(これをxとする),次の操作をします。
1)x<max A ならば x を箱Aに入れる
2)x>min B ならば x を箱Bに入れる
3)max A<x<min B で F が 状態A ならば x を箱Aに入れ F を 状態Bにする
4)max A<x<min B で F が 状態B ならば x を箱Bに入れ F を 状態Aにする

Sが密だとの仮定から 3) と 4) のケースは交互に限りない回数おきるはずです。
Sは可算集合ですからSの要素はいずれ取り出されて箱Aまたは箱Bに入れられます。
箱Aに入るものと箱Bに入るものの集合をそれぞれあらためて
A,Bと呼ぶことにすると,(A,B)はSの切断で,
その作り方から,Aの最大値もBの最小値も存在しません。




16 :132人目の素数さん:03/11/11 20:12
このぐらいの証明は自分で考えて欲しいがまー一応書いときます。

増健の十両の平均勝ち星S={A[1],A[2],・・・,A[n],・・・}とする。
f(A[1])=1/2 とする。
f(A[1]),・・・,f(A[n-1]) が既に定義されているとき,
x=(2m+1)/2^j を,A[n]<>A[k]⇔x<>f[A[k]) k=1,・・・,n-1
となりかつ j が最小となるように選びそれを f(A[n}) と
定義する。
こうすると f が順序を保存することはすぐわかる。
すべての x=(2m+1)/2^j が Im(f) に含まれることは,
Sの稠密性をもちいて,j についての帰納法で示せる

17 :待った名無しさん:03/11/12 15:33
0

18 :待った名無しさん:03/11/12 19:02
増健入幕の確率=∫[0,∞){(x^(m-1))/(1+x^n)} dx
= (1/n)・∫[0,∞){1/(1+t^a)} dt
= (1/n)・B(a,1-a)
= (1/n)・Γ(a)・Γ(1-a)
= π/[n・sin(πm/n)].
ただし m,n∈N, m<n, a=m/n.

ゆえに 私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことはできない。



19 :待った名無しさん:03/11/12 19:07
すべての増健入幕確率素数の積が4π^2 になることの証明

ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)・・・・・とおく
ζ(n)={1+1/(2^n)+1/(2^2n)+・・・・}{1+1/(3^n)+1/(3^2n)+・・・・}{1+1/(5^n)+1/(5^2n)+・・・・
=1/{1-1/(2^n)}・1/{1-1/(3^n)}・1/{1-1/(5^n)} ・・・・

この両辺の絶対値の自然対数を取ると
log |ζ(n)|=log|1/{1-1/(2^n)}|+log| 1/{1-1/(3^n)}|+log | 1/{1-1/(5^n)}|・・・・
    = -log|1-1/(2^n)|-log| 1-1/(3^n)|-log | 1-1/(5^n)|・・・・
=-{1/(2^n)-1/2・1/(2^2n)- 1/3・1/(2^3n)-・・・}
-{1/(3^n)-1/2・1/(3^2n)- 1/3・1/(3^3n)-・・・}
     -{1/(5^n)-1/2・1/(5^2n)- 1/3・1/(5^3n)-・・・}
    ={1/(2^n)+1/(3^n)+1/(5^n)+・・・}
+1/2{1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(5^2n)+・・・}
+1/3{1/(2^3n)+1/(3^3n)+1/(5^3n)+・・・}
+・・・
=Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・ (n≧0) となる。


20 :19続き:03/11/12 19:08
∴|ζ(n)|=e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・} …@

@の両辺をnで微分すると

|ζ’(n)|=d/dn(Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・)
*e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・}
    =-( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) *|f(n)|

よってζ(n)≠0のとき
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) …A
ここでζ(0)=-1/2 ζ’(0)=-1/2log(2^π)

Aにn=0 を代入すると
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・
          =-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp
      =-ζ(0) Σlogp
          =-(-1/2) Σlogp
=1/2Σlogp

∴ 増健の入幕確率は限りなく0に近い


21 :待った名無しさん:03/11/12 19:09
増健入幕確率P(k) を
prime zeta function (和名は素数ゼータ関数かな?)
P(k)=Σ[p=prime]1/p^s
とすると,
あなたと同じ方法であなたとまったく同じ式
log(ζ(s))=Σ[n=1 to ∞]P(sn)/n…(i)
という関係式が得られ,
(P(sn)/n をくだけば,
あなたの指数関数に変形する前の@の式と同式です。)

それをs について微分することにより,
(指数関数にしなくてもそのまま微分してもA式になります。)
2*3*5*7*11*13*…=4π^2
が得られることは
H. Cohen high precision computation of Hardy-Littlewood constants,
preprint
と言う本にすでに書いてあります。
どうぞ,自分でお確かめください。


22 :待った名無しさん:03/11/12 19:09
さらに(i)式の
インバ−スをとると,
P(n)=Σ[n=1 to ∞](μ(n)/n)*log(ζ(sn))
がえらます,
但し,
μ(n)は Möbius 関数
よって
nに2を代入すれば
1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/11^2+1/13^2=
log(ζ(2))-log(ζ(4))/2-log(ζ(6))/3-log(ζ(10))/5+…
らがえられます。

追伸
インバースには
Möbius Inversion Formula
を使用します。



23 :待った名無しさん:03/11/12 19:10
増健率π=3のときのΓ(2)はいくつですか?
の答え多分だけど。

πは, π=3.1415926835…の正しい増健率で
増健率が3になってしまったとすると,
sin(x)がsin(πx/3),
cos(x)がcos(πx/3),
に変わってしまうから,
e^x=exp(x)もexp(πx/3)
にかわってしまうから,
Γ(z)=∫[0→∞](t^(z-1))*exp(-t)dt

Γ(z)=∫[0→∞](t^(z-1))*exp(-πt/3)dt…@
に変わってしまう。
これを部分積分すると,
Γ(z)=(π/3)*(1/z)*∫[0→∞](t^z))*exp(-πt/3)
よって
Γ(z+1)=z(3/π)Γ(z)
@より,
Γ(1)=1

Γ(2)=Γ(1+1)=1*(3/π)*Γ(1)=3/π
円周率が3のときの
Γ(2)=3/π
ということになるらしい。

24 :待った名無しさん:03/11/12 19:11
(A) 一つの増健発散級数がどのローカル巾級数表示の解析接続の特殊値かと言う問題は
一意でない。
が この問題をガウスの頃と違った目でいまではみれる。
つまり巾級数の解析接続の一意性は 当時も明らかであって あほの(失礼)
70らと違ってEulerの推論の問題点が(A)にあることは 皆が意識していた。
Zeta正規化が このスレのように特別視されるのは 2枚の完全電動体の板に
働く引力の計算で カシミール力が発散級数になるが 繰り込みをもちいた
計算がΣ(n=1,INF)n^3 = 1/120つまりζ(-3)であることが1948にカシミール
が論文を出し、1996に実験で確かめられたという衝撃的事実があるからだ。
ある意味ではノーベル賞を越えていると思うね。
18、19、29のH.Cohen氏は数式処理エンジンの一つpariの開発メンバーでも
あったはず。Hardy-Littlewoodでググれば読める。さすがに乱暴な書き方
ではなくてオイラーマクローリン展開の形式で書かれている。
良い本かどうか判らないが カシミールとzetaについては
岩波書店 、絶対カシミール元 、黒川信重氏と若山正人氏の共著を読むべき。
とんでものクロネッカーもベルリンにリーマンが来たときzetaの事を
いろいろきいて(もちろんクロ氏は関数論でも一流の力をもっていた)
zetaの特別な性格を見通していたらしい。
ゆえに、増健入幕証明は難しい


25 :待った名無しさん:03/11/12 19:12
増健入幕zeta正規化(正規化積)について
定義 複素数列 a= {a1,a2,a3,..}、Re(an)->∞ にたいして
aのzeta関数を zeta[a](s)= Σ[n=1 to ∞]a(n)^(-s) で定義する。
a(n)^(-s)=exp(-slog(a(n)),-π<arg(log(a(n))<πとするとき
このzeta関数がs=0を含む領域に解析接続されてs=0 で正則ならば
Π[n=1 to ∞]a(n)= exp(-zeta'[a](0)) とおきzeta正規化積という。
('は微分を意味する。)
この定義がしんどい人はディリクレ級数の解析的性質の初歩を補充すべし。
岩波 数論入門 D。Bザギヤー著 片山孝次 氏訳 P1からP15くらいでよい。
nが有限数列のとき上のzeta正規化積は 自明な式になる。(確認せよ。)
>18の(i)式 log(ζ(s))=Σ[n=1 to ∞]P(sn)/n…(i) および >19の
P(s)=Σ[n=1 to ∞](μ(n)/n)*log(ζ(sn)) は 数学的に完全に正しい式です。
しかし(i)をsで微分して0を代入するプロセスは zeta正規化積では 合理化
できない、つまりzeta正規化積の条件を満たしていない。
>4の指摘 、-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp
これの妥当性が分からない。が当たっているが 間違っているかというと
将来 第2正規化として 合理化できるかどうかについては 解らない。


26 :待った名無しさん:03/11/12 19:13
増健入幕zeta正規化については 絶対カシミール元(岩波、黒川信重氏と若山正人氏)
にあるように 無限次行列の行列式をzeta正規化積で定義できることは数学的に
大変重要な指摘とおもわれる。p134定理6。3参照。
この表現は量子力学とも結びついていて最近は高エネルギー系の人達が zetaの
論文を多数書くなど渾沌としている。
>71で述べたようにカシミール効果によって 自然がzeta正規化を認めたことに
なる。まあラモローの実験の精度がもう一桁高ければ速攻で カシミールに
ノーベル物理学賞が与えられたであろうが カシミールはなくなったから。
これは水星の近日点移動の観察で相対性理論が認められたのに類する事態と
思うね。僕のまわりでは くりこみ、ああオイラーマクローリン和で 定数項
だけをとるやりかたね(それがどうした)とか、これで地球の数学も宇宙人に
みせても嗤われないレベルにきたとか、量子カオスのスペクトルとの類似
から線形作用素論にすぎないzeta正規化からはリーマン予想は程遠いぜという
人などいろいろですね。
ファインマンによると 量子力学を理解できる人はいないそうだが、20世紀
の観測理論の主要結果ともいうべき町田,並木理論の並木氏がどこかでδ(x)*δ(x)
は今の数学では合理化できないが(物理屋が) うまい使い方を見つけたら
後は数学屋が 合理化してくれるのだ、と言っていて内心腹立った(新しい
ことは 数学屋にはできないといっているように聞こえた)がzeta正規化は
数学屋が 先にみつけたんだよね。
このすべての素数の積が4π^2の式も何度も発見されているが 現在の数学的には
合理化できない高根の花であるというのが 結論ですね。
個人的にはzeta正規化を第一近似とするような 2次の正規化理論ができれば
なんとかなるきがしますが それは妙にδ(x)*δ(x)に似てますね。


27 :待った名無しさん:03/11/12 20:28
ためになるスレッドだなあ

28 :待った名無しさん:03/11/12 22:51
知的な増健関のイメージにマッチしたスレですな

29 :待った名無しさん:03/11/12 23:04
増健関を1位に(現在13位)
http://vote.mallkun.com/cgi-bin/1/comvote.cgi?id=kuku

増健ファン・増厨は、一日一回の投票をお忘れなく

30 :待った名無しさん:03/11/12 23:10
すごい!大学並みの数学だなあ。

31 :待った名無しさん:03/11/12 23:28
「すべての増健入幕確率は4π^2になるらしい」

この命題は、ある自然な解釈のもとで正しい(かもしれない)定理です。
現在、証明は完全ではなく、不完全な証明は >>15-16

質問) 増健入幕確率は無限にありますが。
答え) 無限級数・無限積を、ある複素関数の解析接続と考え、その
    特殊値を代入したものだと解釈します。
    数学的に正しい例として、リーマンのゼータ関数
      ζ(z) =1/(1^z)+1/(2^z)+1/(3^z)+...
    は、Re(z)>1 で収束しますが、解析接続して z=-1 での価をとり
      ζ(-1)=1+2+3+4+6+7+8+9+=-1/2
    は形式的に正しいと考えます。同様に、
      1*2*3*4*5*6*7*8*9*…=-exp(-1/2ln(2π))=(2π)^2
    も形式的に正しい式です。>>33 などを参照。

質問) 増健入幕確率における発散級数は、総和法の定義によっていくらでも収束値は変えうるのでは?
答え) その通りですが、今の場合はゼータ関数(およびその微分)の特殊値を用いて
    収束するならば自然な値が定まると考えてください。

質問) >>15-16 の証明は正しいのですか?
答え) そのままでは、数学的には正しくありません。
    将来、正しい証明が得られれば、おそらく正当化できるでしょう。

質問) 解析接続などについて私にもわかるように教えてください
答え) 他のスレで聞くか、自分で勉強しましょう。
    解析接続が常識でない人は、ここではスレを荒らすだけです。

質問) このスレは糞スレ!削除しる!
答え) 解析接続や総和法がわからない人が書き込むと糞スレになります。
    >>33 が理解できない人はスルーしましょう。


32 :待った名無しさん:03/11/12 23:29
『増健率3.14……数字の果てに謎のメッセージ?』
【ロサンゼルス21日・中西征司】米・カリフォルニア州の研究機関が21日、
3.14……と小数点以下の数が無限に続くとされる増健率「π(パイ)」の
なかに、「0」と「1」ばかりが数千桁以上も続いている部分があること
を発見したと発表。自然物である「数」のなかに、何者かの“メッセージ”
が隠されているのではないかと話題を呼んでいる。
 発表したのは同州サンノゼ市のクインズ・パーマー財団数理科学研究所。
同研究所では1996年からスーパーコンピュータ17台を使って、通常の10進
法だけでなく、2進法、8進法、16進法による円周率の計算を続けてきた。
その最中の今月2日、16進法の円周率の小数点以下4462億5401桁(桁数の
表示は10進法)から「00010111……」と、0と1ばかりが8000桁以上も続
いているのを発見。21日現在も他の数字は現れず、計算は続けられている
という。16進法の場合、0からF(10進法の15にあたる)まで、16の“数
字”があり、8000桁にもわたってこのような数が並ぶ確率は8の8000乗分
の1のとなる。同財団理事のカッセル・ゼーランド教授は「まさに天文学
的に小さい確率の奇跡としか言いようがない」としている。


33 :待った名無しさん:03/11/12 23:30
この数列は10進法の円周率に換算すると約3200億桁目にあたる部分から
始まっているが、同教授によると「10進法では0から9まで、まったく無
作為な数が並んでいる」という。同研究所ではさらなる少数桁の計算を進
めながら、問題の数列にデジタル信号などに使われている2進法的な“意
味”があるのかなどの解析も始める方針だ。
 この発表を受け、米国内では早くも反響が出始めている。複数の研究機
関が16進法による円周率計算の追試を始めた一方、この数列のうち、公表
されている約5000桁のなかに“メッセージ”を探そうという動きもある。
「電波を介さない、遠い過去に仕組まれた、異星人からのメッセージの可
能性もある」という、アマチュアのコンピュータ愛好家団体では、この数
列を画像解析プログラムなどにかけている。しかし、ニューヨーク州立大
の文化論理学者ロバート・メイヤー教授は「円周率は数学という、まった
くの自然の概念のなかのもの。異星人がいたとしても、人為的に手を加え
ようがないはず」と、“メッセージ”の人為性には懐疑的。「もし、何ら
かの意味が見いだされたとしたら、それは“神”とでも言うべき存在から
のものかもしれない」と慎重に語っている。


34 :待った名無しさん:03/11/12 23:30
だいたい増健入幕確率の1+2+・・・=−1/12とかいうのは。。。
Σ(1/n^z)の 関数の解析接続でz=-1としたと考える方が自然です。
ここではこの等式を左辺に繰り込み(renomarization)を適用して右辺になると
考えることができる。これをなんでもかんでも繰り込みできると考えるので
なくて zeta正規化だけを特別視する数学以外の根拠がカシミール効果であっ
てごく最近実験で確認されたことに端を発しているのです。余談ですがカシミー
ル効果の実験はその境界条件を変えて精密実験できれば、驚くことに実験から
zetaの知られていない結果がでてくる可能性がある。まあいろんな要因から
精密実験は、zetaの数学研究と同等に難しいらしいが。zeta正規化積は数学的
に完全に基礎付されているが、繰り込みという観点では貧弱な力しかもってい
ません。このスレの表題もzeta正規化では正当化できないと思います。そして
最近ここのネタを振り回すような書き込みは つまらないのは同感ですが、
ファイマンは、発散を繰り込むのは数学では合理化できないから数学を(過度
には)信頼してはいけないと言っている。この当時はファイマンだけが
見えていたものを現在だれでも学べるようになっている。
>259にある Dirk Kreimer のknot Theoryがある(q-alg/9607022を見よ)は
簡単にいえば ファイマン図からくる相互作用の発散を繰り込む手法が
zetaの(本質的な)計算と深いかかわりがあることを示している。コンヌが目を
つけて共同研究していたはず。>161のhep-th/9806061も素数ペアの分布で繰り
込みが使えないかなあというまじめな研究だ。zeta正規化積だけに限定しても
その繰り込みの威力はすごく、Christian Bar and Sven Schopka の論文2000年
The Dirac Determinannt of Spherical Space Formsにあるようにディラック作用素の
detを 具体的に計算できる。この論文は
http://www.math.uni-hamburg.de/home/baer/preprints/determinante.html
から手に入るはず。あ、繰り込みの威力>>今のzeta正規化ね


35 :待った名無しさん:03/11/12 23:31
そもそも増健入幕確率Digital Filter理論は その基礎をサンプリング定理に置いており、見ように
依っては フーリェ解析の一部または より初等的にみれば数論的関数とその理
論の一部に含めた方が良いようにも思える。
しかしそれは一方的に数学の立場からのみ見た考えであって、自然科学の立場
から考えれば、ユークリッドの昔の初等整数論がDigital Filterに結びつかな
かったのはひとえにブツ(コンピュータ)が無かったからである。
つまりDigital Filter理論は遅れてきたランナーなのだ。
しかもユークリッドの幾何が新しい公理に基づく数学のスタイルを築いたよう
に(アブストラクト ナンセンスとともに 定義と推論の、数学と人間の断絶を
明らかにした替わりに非ユークリッド幾何をはじめとする現代数学を得たよう
に)、この発展しなかった枝(Digital Filterの枝)の方向にも当然大きな果実
が存在するはずだと考える。数学の歴史をひもとけばそれはアイデアというか
概念の発達史であり、ある重要な概念が完全に把握されるまで普通現在のdog
yearでも50年昔なら百年200年かかることはざらである。
ユークリッド幾何の枝の方では連続系の理論があり、個人的には数学の世界で
はあまり評価されないが距離づけ可能な空間(正規と正則の間)の研究がその最
前線と思うが、 対応するもう一方の枝のサンプリング定理はおもちゃのよう
に貧弱なのは 歴史のせいかもしれない。この枝は再帰(フラクタル)やカオス
のアイデアも含んでおり(人によっては早く産まれすぎて消えそうな概念とい
うが)もちろん これから時間をかけて発展すると思う。量子力学で知られてい
るように作用素の指数は 無限に高い振動数の波から得られるがうまく取りだ
すには繰り込みを用いなければならない。このあたりでは フーリェ変換の枠
を越えてファイマン流の相互作用をくりこむ方法を独自に発展させたDirk
Kreimer のknot Theoryがある(q-alg/9607022を見よ)。


36 :待った名無しさん:03/11/12 23:32
しかしこれは一面の真理であっても(計算して面白い結果はでるが)証明を基礎
づける手段がない。すべてのよせあつめ(和)を基礎づけるなにかがない。(超
関数を越えるなにか)ひょっとしたら 数の概念をサンプリングした時すでに
ぼくらは ルビコンを渡ってしまっているのかもしれない。
もともとユークリッドの幾何に由来する枝と ユークリッドの数論に由来する
枝(Digital Filter)はまったく別々に発達するように位置付けられているのか
もしれない。フランス流のp進ノルムは一方の枝からの押し付けで結局失敗す
るようにも思える。算術性には算術性の世界での表現があるのではないか?
Σ(q=1 to inf)C[q](n)/q が恒等的に0に等しい関数のRAMANUJYAN和を使った
表現(つまり和は0)であるがこれは素数定理に同値である。
一方の枝ともう一方の枝を結ぶためには くりこみとサンプリング定理の関係
をはっきりさせねばならないわけだが 幸いというか不幸にしてというべきか
どちらも数学的に十分基礎づけできてない。ミッシングリングの中心は
RAMANUJYANだ。

ディジタル信号と超関数(吉野邦生and荒井隆行、海文堂2400円)
DIGITAL FILTERS (R.W.HAMMING Dover社 アマゾンで1700円お買い得)
COLLECTED PAPERS RAMANUJYAN AMS CHELSEA

37 :待った名無しさん:03/11/12 23:33
>増健入幕確率合同ζはdetで定義されてる.有限次元だけど.
そうそうそれは知ってる。合同ζは実はあんまりしらないんだけど。
>合同ζはdetで定義されてる.有限次元だけど.
>それによって明示公式以上のことが示せる.三角和の評価とか.
そうなのか。それはしらなんだ。スマ。でもすくなくともWeil予想の証明そのものには
役にたったわけじゃないんでしょ?たしかl-adicコホモロジーにおける
Frobenius写像の固有値=合同ζの零点は結構むかしからしられていて(これってWeil?
Grothendieck?)べつにdeterminant=ζとかけようがかけまいが(もちろん有限次元だからかけるんだけど)
固有値の実部にかんする議論はそんなことおかまいなしにされたんじゃないの?
というか合同ζは有限次元だからこれを無限積をかんがえる必然性の話の引き合いにだすのは
どうかなって気がする。すくなくとも無限積の有用性に言及するつもりなら無限次元線形代数が
不可避なSelbergζ以上のものを引き合いにださんとだめじゃないかな?
その場合
(ζの対数微分)=(traceの指標空間上の標示)
という等式(跡公式)があって(実際には右辺は発散するのでうまく“繰り込む”必要があるけど)
左辺は対数微分の形で書くのは容易だけど右辺をdeterminantの対数微分の形にするのは
そんなに容易ではないんじゃないかと思う。
なんでおれがそんなにdeterminantにする必要をあまり感じないかというと跡公式の右辺を
determinantの対数微分と書くことができるというのは黒川先生の本にはかいてはあるんだけどそれを実行してる
本も論文も現時点ではまだよんでない。にもかかわらずすくなくともそんなことしなくても
SelbergζについてはRHの類似物が成立してるのは本橋先生の教科書でも十分理解できて
もちろんdeterminantのディの字もつかわずにそこまではいけると知ってるから。
それを踏まえてかんがえると合同ζのときはdeterminantは定義できるけど特に(RHには)必要
だったあけではない、Selbergζのときはdeterminantは定義できるらしいけど特に(RHには)
必要ないとなっててなのにRiemannζのときにはdeterminantとみなすことが
不可避だなんていわれたって信じられんのだけど。


38 :待った名無しさん:03/11/12 23:34
いや、増健入幕確率は線形作用素の固有値をかんがえるのはなかなか
意味ありげだけどわざわざその無限積を定義してdeterminantを考えなくても
いいんじゃないかという意味。作用素の固有値=ζの零点みたいなのが注目されだしたのは
ここ最近(といっても50年ぐらい前からだけど)で大本はSelbergの理論というもの
らしい。その一番基礎となるΓ=SL(2,Z)の場合の理論が本橋先生の本にのっててそれを今
勉強中。(しかしこの本あほほどまちがいというかなんていうかがあってたまらんのだけど)
すくなくともこの場合はまず作用素の方がさきにあって(ラプラシアン)
あとで作用素の固有値=ζの零点となるようなζを作ったって感じ。ただそれからでてくる等式が
Riemannζの明示公式ってやつに酷似してるのでRiemannζもおんなじように構成できるのではないか
というのが最近のはやりらしい。でその明示公式に酷似した公式をSelberg跡公式というんだけど
それはdeterminantではなくtrace(=跡)の計算によってなされる。無限次元の線形作用素って
v(x)→∫[t]k(x,t)v(t)dtみたいな形で書けるものをかんがえることがおおいみたいだけど
その場合はtraceを∫[t]k(t,t)v(t)dtと定義すると有限次元線形代数と似た議論が
できることが多いみたい。そして固有値=零点をみちびくのは(すくなくともselbegζのときは)
これだけで十分。つまりべつにdeterminantなんて定義する必要もとくにないみたい。
じっさいさっきの形してる線形作用素(積分作用素というんだそうな。)についてtraceに関する公式や定理
はアホほどあるし歴史も実績もあるけどdeterminantを定義してはじめて明らかになったとか
証明されたとかいう実際的な結果がいまんとこ全然でてなさそうな気配がする。
(知らんだけかもしれんけど)。だからRHの証明のためにはぜひとも無限次元線形作用素のdeterminantについての
議論が不可避的に必要だとかいうのはかぎりなくうそくさい。これから面白い結果がでてくんのかもはしれんけど。


39 :待った名無しさん:03/11/12 23:35
証明
増健の十両での平均勝ち星を表す関数をP(n)とおく
ここで、P(1)=2だから高山予想を使い、
∫log(P(1)+P(3)+P(4)+・・・P(n)+・・・)=π^2+∫log(P(n))
ここでニューロ関数を用いたトワンソリ−展開で
∫log(P(1)*P(2)*・・・*P(n)*・・・)=∫log(π^2+P(n))+ψ(π^2)
よって
log(P(1)*P(2)*・・・*P(n)*・・・)=log(π^2+P(n))+Ψ(π^2)
P(1)*P(2)*・・・*P(n)*・・・=4π^2+0
すなわち、増健入幕確率は4π^2


40 :待った名無しさん:03/11/13 00:01
あちこち張ってる香具師
像権って誰なの?

41 :待った名無しさん:03/11/13 13:15
 

42 :18:00〜のTNCニュースの津野瀬果絵アナは可愛いよね:03/11/13 13:37
増健入幕確率における二階論理上で自然数論のモデルが範疇的になるとき、算術の理論TのモデルをMとすると、
@.文φがMで真となる⇒φはTの「すべての」モデルにおいて真⇔φはTの帰結(恒真)
A.文φがMで偽となる⇒φはその否定¬φがTの「すべて」のモデルにおいて真⇔¬φはTの帰結
ということになるので、
@を仮定すると、真となる文はTで証明可能、偽となる文はTで反証可能だから、
B.文φがMで真となる⇒φはTで証明可能
C.文φがMで偽となる⇒φはTで反証可能
が成り立ち、2値論理の前提によって任意の文φはMで真か偽のいずれかなので、
任意の文φはTで証明可能か反証可能かのいずれかとなってAが成り立つ。
逆にAを仮定すると、任意の文φはTで証明可能か反証可能かのいずれかなので、
@の否定、つまりある文φがTの全てのモデルで(=Mで)真であるのに証明可能でない時、
φは反証可能となり、健全性によってφはMで偽となるから、φがMで真かつ偽になって矛盾する。
よって、Aを仮定すると@が成り立つ。
以上によってタイプ理論上で自然数論のモデルが範疇的になると、@⇔A。
意味論的完全性と証明論的不完全性が両立しない(矛盾する)ことになる。
こういうことでいいですか?

43 :18:00〜のTNCニュースの津野瀬果絵アナは可愛いよね:03/11/13 13:38
増健入幕確率が一階述語論理上で理論を展開する場合、
もしもある理論Tのモデルがただ一つ(の型)しかないと仮定すると、MをTのモデルとする時、
@.文φがMで真となる⇒φはTの「すべての」モデルにおいて真⇔φはTの帰結(恒真)
A.文φがMで偽となる⇒φはその否定¬φがTの「すべて」のモデルにおいて真⇔¬φはTの帰結
ということになって、
(一階述語論理上では)@によって真となる文はTで証明可能、偽となる文はTで反証可能だから、
B.文φがMで真となる⇒φはTで証明可能
C.文φがMで偽となる⇒φはTで反証可能
が成り立ち、
Aの否定、つまりTで証明可能でも反証可能でもない文ψが存在する時、
ψがMで真ならB.によってψはTで証明可能となって矛盾、
ψがMで偽ならC.によってψはTで反証可能となって矛盾、
ψがMで真でも偽でもないなら2値論理の前提に反する。
だから、第一不完全性定理によって算術の公理系におけるAの否定が証明されていることから、
一階述語論理上では必然的に算術の公理系には複数の(同型でない)モデルが存在することになる。
こういうことでいいですか?

しかし、増健入幕確率モデルの複数性だけなら、完全性定理の証明の応用で、
レーヴェンハイム−スコーレムの定理などから示せますよね。
ということは、不完全性定理と完全性定理は、意外に似たような内容を含んでいるとも言えませんか?

44 :18:00〜のTNCニュースの津野瀬果絵アナは可愛いよね:03/11/13 13:40
「増健入幕確率における不完全性定理」
算術の標準モデルN=(N,+,・,S,0)をモデルにもつ再帰的に公理化可能な理論には、
証明も反証もできない文が存在する。
(証明論的に完全な理論TAは存在するが、これは再帰的に公理化可能でない)
と理解しています(おかしかったら指摘してください)。

ところで、
一階述語論理上で理論を展開する場合、
理論Tに証明も反証もできない文φが存在する
⇒φに異なる真理値を与えるTのモデルが存在する
(φがTの全てのモデルで同じ真理値をとるなら、完全性定理によりφは証明可能か反証可能)
⇒Tには複数の(同型でない)モデルが存在する



45 :18:00〜のTNCニュースの津野瀬果絵アナは可愛いよね:03/11/13 13:41
また、『増健学基礎論講義』のP183には、
次のような第二不完全性定理を用いたPAの超準モデルの存在証明があります。

>[第二不完全性定理を用いた証明]
>まず,NはPAのモデルなので,完全性定理からPAは無矛盾.
>よって,PAが無矛盾であることを意味する論理式Con(PA)は正しい.
>すなわちN|= Con(PA).
>また,第二不完全性定理からCon(PA)はPAから証明できない.
>よってPA+¬Con(PA)は無矛盾なのでモデルMをもつ.
>M|= ¬Con(PA)なのでM≠N.
>ゆえにMはPAの超準モデル.□

(Q5)以上のことから、不完全性定理はある意味でモデルの複数性を示唆しているともとれませんか?

(Q6)他方、完全性定理の証明と本質的な部分を共有するレーヴェンハイム-スコーレムの定理も、
モデルの複数性を含意しているので、「モデルの複数性」という観点からは、
完全性定理と不完全性定理は意外に近い内容を含んでいるといえないでしょうか?


46 :18:00〜のTNCニュースの津野瀬果絵アナは可愛いよね:03/11/13 13:43
増健入幕確率=3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012
8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912
9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955
3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000


47 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:16
増健入幕確率X^(p^e)−aがK[X]で可約なら
b∈K,a=b^pとなるbが存在することの証明。
(1)1の原始p乗根がKにないとき。
Kの代数閉包の元c,dでa=c^(p^e),dは原始p^e乗根となるものをとる。
定数項を比較してc^(p^(e−1))d^u∈Kとなるuが存在することが分かる。
d^(pu)=(c^(p^(e−1))d^u)^p/a∈Kからd^(pu)=1。
よってb=c^(p^(e−1))d^uとすればいい。
(2)1の原始p乗根がKにあるとき。
eがより小さいとき成り立つとする。
X^(p^e)−aが二つのX^pの定数でない多項式の積で表せるなら
X^(p^(e−1))−aが可約になるので条件を満たすbが存在する。
そうでないとき1の原始p乗根の一つをdとし
f(X)を最高次の係数が1のX^(p^e)−aの既約約元とすると
Π_{0≦i<p}f((d^i)X)はX^pの定数でない多項式の積なので
X^(p^e)−a=Π_{0≦i<p}f((d^i)X)。



48 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:17
増健入幕関数Fvを以下でさだめる
 
  Fv=
   Ovの定義関数 (vが有限素点のとき)
   exp(-|x|^2) (vが無限素点のとき)
 
 さらに関数FをF=ΠFvでさだめるときFは以下をみたす
 
 (1)F(δy^(-1))=|D|^(1/2)|y|F(y)
 (2)|δ|=|D|^(-1)
 
 増健入幕確率δはあるAkの元でDはある定数である。


49 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:18
増健関数CをsmallなAbel圏、Add(C)をCからmodZへの加法関手の全体として
Ad:C→Add(C)をX→C(〜,X)で定義される関手とするときこれがFully Faithfullまでは
わかったんでしょ?まあ、こいつは完全ではないと。どうするかというとTorsion Theory
というのをつかう。Add(C)のobjectのclass S,TとFをそれぞれ
S={Cok(〜,f) | ∃f:X→Y;epimorphism}
F={Y∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀X∈S}
T={X∈Add(C) | Add(C)(X,Y)=0 ∀Y∈T}
とさだめると(T,F)がhereditary torsion theoryというものをさだめAdd(C)/(T,F)という局所化という
圏が定義される。abel圏A上のobjectのsubclassの対(T,F)がhereditary torsion theory
であることの定義はobjectのsubclassの対(T,F)で以下を満足するもののこと。
∀X∈T、∀Y∈F A(X,Y)=0
∀X∈A (∀Y∈F A(X,Y)=0⇒X∈T)
∀Y∈A (∀X∈T A(X,Y)=0⇒Y∈F)
∀X∈T (∀Z∈A ∃f:Z→X;monomorphism⇒Z∈T)
を満足するもの。アーベル圏Aとそのhereditary torsion theory (T,F)がとれるとき局所化
とよばれる完全関手l:A→B=A/(T,F)が次を満足するものとして定義される。
1)∀f:X→Y kerf,cokf∈T⇒l(f)はisomorphism
2)k:A→Cが1)を満足するときあるf:B→Cが一意にさだまりk=flを満たす。
でこの理論で存在が保証されるl:Add→B=Add(C)/(T,F) ((T,F)はさっき定義したやつ)を使うと
l・Adが完全関手となってしかもBにはinjective cojenerator Eが存在することが
証明できる。これをつかってBはmod End(E)のfull subcategoryにexactにうめこまれる。
つまり任意のsmall abelian category は環の加群の圏にcontravariantに完全に埋め込まれる。
covariant にしたければ埋め込むまえに自己半完全関手C→C^opを作用させてから
C^opの方をうめこめばよい。


50 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:19
あるいは増健入幕確率Rが非可換環、aがその元のとき
∃x xa=1 ⇒∀y “ya=0⇒y=0”
が成立するか?ではないの?これは成立しない。
−反例−
Vを無限次元ベクトル空間、Rをその準同型環とするときa∈Rに対し
∃x xa=1⇔aは単射
∀y “ya=0⇒y=0”⇔aは全射
なので“単射⇒全射”がいえるかだけどこれはNO。
∃x xa=1 ⇒∀y “ay=0⇒y=0”
はもちろんいえる。
ゆえに増健入幕確率は(ca)b=c(ab)=c(ba)=c=(ab)c=(ba)c=b(ac) なので
ac=0,or,ca=0 ⇒ c=0 となり
「増健入幕可能性aは零因子でない」が導ける。



51 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:20
増健入幕確率における正方行列の集合Sがあって、和と積とスカラー倍に対して閉じていてい、
これらはお互いに交換可能なら、可換環だから、これらを成分に持つ
「行列」やその「行列式」を考えることが出きる。

Sの成分A,Bに対して、A*Bを、「ij成分」=aij・Bであるような「行列」と定義する。
すると、A*B−B*Aの「行列式」は0となる。B=Iの場合、ケーリーハミルトンの定理となる。

証明)

ア)A,Bが三角行列の場合、A*B−B*A も「三角行列」となるので、「行列式」は「対角成分」の積となる。
つまり、Π(aiiB−biiA)
各(aiiB−biiA)は、三角行列でii成分が0。この積が0になることは計算することでわかる。

イ)一般の場合。
(A*B)・(C*D)=(AC)*(BD)となることがわかる。

A,Bが交換可能だから、適当な行列Pとその逆行列Qによって、
PAQ,PBQをともに三角行列とすることができる。

A*B−B*A=(QPAQP)*(QPBQP)−(QPBQP)*(QPAQP)
=(Q*Q)・{(PAQ)*(PBQ)−(PBQ)*(PAQ)}・(P*P)

この「行列式」は通常行列式同様にそれぞれの「行列式」の積になるが、
{(PAQ)*(PBQ)−(PBQ)*(PAQ)}の「行列式」が(ア)より0
となるので、増健入幕確率も0となる。

52 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:21
増健入幕確率A=\Z/(pq), B=A[X]とおく.
J≠0をBの任意のイデアルとする.
今,f(≠0)∈Jでn=deg fが最小であるものを取り,a=LC(f)∈A(主係数)とおく.
(1) a∈A^*のとき,J=fB.
(2) a∈pAのとき,(必要ならばfにB^*=A^*の元を掛けて)a=pとしてよい.
このとき,qf∈J, deg qf<nより,qf=0だから,モニックなf'∈Bが存在してf=pf'.
さらに,モニックなg∈Jでm=deg gが最小であるものを取る.
[主張1] ∀h∈Jに対して,deg h<m ⇒ h∈fB.
∵) ∃h∈J, d=deg h<m, h/∈fBと仮定し,dが最小のものを取る.
b=LC(h)/∈pAと仮定すると,up+vb=1 (∃u, v∈\Z)より,
k=uX^(d-n)*f+v*h∈Jとおくと,deg k=d<m, LC(k)=up+vb=1となり矛盾.
よって,b=b'p, h'=h-b'X^(d-n)*f∈Jとおくと,deg h'<dだから,h'∈fBよりh∈fBとなり矛盾.
[主張2] J=fB+gB.
∵) ∀h∈Jに対して,h=q'g+r (q',r∈B), deg r<mとすると,r∈Jより,r∈fBだから,h∈fB+gB.
[主張3] J=(f+qg)B.
∵) J'=(f+qg)Bとおく.J'⊂Jは明らか.
一方,up+vq=1 (∃u, v∈\Z)より,J'∋up(f+qg)=up^2*f'=pf'=f, qg=(f+qg)-f∈J'.
このとき,h=uX^(m-n)*f+v*qg∈J'⊂Jとおくと,deg h=m, LC(h)=up+vq=1.
よって,k=g-h∈Jとおくと,deg k<mより,k∈fB⊂J'だから,g=h+k∈J'.
(3) a∈qAのときも同様.
以上より,増健入幕確率Bは単項イデアル環.


53 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:23
大抵の相撲関係の書籍に載っている。
以下は、俺が以前書いたもの。
本来の定理は増健入幕確率k=C(複素数体)でRは収束冪級数環。

Definition
Let k be a field.
Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k.
Let f be an element of R.
We say f is regular of order s with respect to Y
if it satisfies the following condition.
1) f(0,..,0, Y) is not zero.
2) Consider f(0,..,0, Y) as a formal power series of one variable Y.
Then s is the least integer such that
Y^s has non-zero coefficient in f(0,..,0, Y).

Theorem (Weierstrass's Preparation Theorem)
Let k be a field.
Let R = k[[X_1, .., X_n, Y]] be the formal power series ring over k.
Let f be an element of R, regular of order s with respect to Y.
Then f can be uniquely expressed in the form:
f = u(Y^s + h_(s-1) Y^(s-1) + ... + h_1 Y + h_0),
where u is an invertible element of R, i.e. u(0, ... ,0) is not 0
and each h_i is an element of k[[X_1, .., X_n]].
Moreover, h_i(0,..,0) = 0 for all i.


54 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:23
増健入幕確率kを体、R=k[[X1,・・・,Xn]]とする。d=(d1,・・・,dn)に対し
X^dをX^d=(X1)^d1・(X2)^d2・・・(Xn)^dnで定める。さらに|d|を
|d|=d1+・・・+dnとする。加法的離散付値v:R→Zを
v(蚤_dX^d)=min{|d||a_d≠0} (if 蚤_dX^d≠0) v(0)=∞
で定める。Rはこのvから誘導される距離に関して完備になる。
VをX1・・・Xnによって張られるk係数のベクトル空間とする。
G=GL(V)の作用はk[[X1,・・・,Xn]]にk代数の準同型として
自然に拡張される。またY1,・・・,YnをRのv(Yi)≧2なる元の組、
g∈GL(V)とするときk代数の準同型φ:R→Rで
φ(Xi)=gXi+Yiをみたす連続準同型が一意にさだまる。
このような準同型を座標変換とよぶこととする。
このとき以下が成立する。
 
−定理−
0≠F∈R、v(F)=δであるときある座標変換φとRの単元u、
k[[X2・・・Xn]]の元の組G0,・・・,Gδで
 
 uφ(F)=納i=0,δ]Gi(X1)^i、Gδはk[[X2・・・Xn]]の単元
 
を満足するものが存在する。
 
これを以下で示す


55 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:24
−補題−
増健優勝確率H=納|d|=δ]a_d(X^d)を次数δ<∞のRの斉次元とするとき座標変換φで
φ(H)=巴_d(X^d)、b_(δ,0,・・・,0)≠0を満足するようにとれる。
 
(∵)nに関する帰納法。n=1では容易。n未満で成立していると仮定する。
H=納|d|=δ]a_d(X^d)を斉次元とする。m=max{k|∃d=(m,*,・・・,*) a_d≠0}
とおく。H=巴_e(X1)^m(X2・・・Xn)^e+把_d(X^d)、c_d=0 (if d=(m,*,・・・,*))
と分解しておく。K=巴_e(X2・・・Xn)^eはk[[X2・・・Xn]]の0でない斉次元ゆえ
帰納法の仮定からk[[X2・・・Xn]]の座標変換ψを
ψ(K)=巴_d(X^d)、b_(δ,0,・・・,0)≠0を満たすようにとれる。
これをk[[X1・・・Xn]]に自然に拡張したものもおなじくψとかくこととする。
このときGL(V)の元gをg(X2)=X1+X2,g(Xi)=Xi (if i≠2)でさだめられるものとし
φをφ(A)=gψ(A)でさだめられる座標変換とするときこれが求められる
条件を満足することは容易にわかる。□

56 :132人目の素数さん ::03/11/14 21:25
(定理の証明のスケッチ)Rの付値vをk[[X2・・・Xn]]に制限したものをwとしておく。
0≠F∈R、v(F)=δであるものをとる。Fのδ次の斉次部分をHとする。
補題により座標変換φをφ(H)=巴_d(X^d)、b_(δ,0,・・・,0)≠0
と表示できるφ=idとして一般性をうしなわない。このとき
F=蚤_k(Xn)^k、a_k∈k[[X2・・・Xn]]、w(a_k)≧δ-k (for i≦δ)
が成立する。次をしめす。
 
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,・・・でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)・・・(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)・・・(1-r_u)=蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2・・・Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
 
u=0ではあきらか。uまで構成できたとする。
F(1-r_0)(1-r_1)・・・(r_u)=蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2・・・Xn]]と分解しておく。
w(a'_k)≧δ-k (for i≦δ)ゆえ特にw(a'_δ)=0。つまりa'_δはk[[X2・・・Xn]]の
単元である。ゆえr_u+1を条件をみたすようにとれる。(←しんどくなったので略)
 
上Claimで構成したr_0,r_1,r_2,・・・をとるとき((1-r_0)(1-r_1)・・・(1-r_u))_uは
RのCauchy列となる。Rは完備ゆえこれは極限値uをもつ。このuが増健入幕の確率である。□




57 :名無しさん@どすこい:03/11/14 21:28
恐ろしく難解な式のオンパレードだが、結局入幕できるのか??

58 :待った名無しさん:03/11/15 11:43
集合式は数学的に誤った概念ですから、何とも言えません

59 :名無しさん@どすこい:03/11/15 17:52
もういちど増健入幕方程式r_0,r_1,r_2,・・・のみたすべき条件を再確認します。
 
(Claim) Rの元の列1=r_0,r_1,r_2,・・・でv(b_i)≧i、F(1-r_1)(1-r_2)・・・(r_u)を
F(1-r_0)(1-r_1)・・・(1-r_u)=蚤'_k(Xn)^k、a'_k∈k[[X2・・・Xn]]と表示したとき
w(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0、a'_k=0 (for δ+1≦k≦δ+u)
を満足するようにとれる。
 
ここでu=0の場合要求される条件は(for δ+1≦k≦δ+u)に相当するkが存在しないゆえ
事実上要求されるのはw(a'_k)≧δ-k (for k≦δ)、w(a'_k)=0だけでこの条件はもとの
a_kがすでにみたしているのでr_u=0ととれば十分です。
 
いささかしょぼい例ですがr_uを構成してゆく例をしめしてみます。
n=2としX1=X、X2=Y、F=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+・・・
のような例でやってみます。この場合v(F)=3でw(X^2)=2、w(1+X)=0ゆえ
前提条件をみたしてます。r_0はでよいことはすでに述べたとおり。
r_1はY^4の係数を消すためにr_1=X/((1-X)(1+X))ととります。
これはY^3の係数である1+Xがk[[X]]の可逆元なので可能です。
そしてFに(1-r_0)(1-r_1)をかけてみると
F(1-r_0)(1-r_1)
=XY^2+(1+X)Y^3+(X/(1-X))Y^4+・・・
-X^2/((1-X)(1+X))Y^3-X/(1-X)Y^4-X^2/((1-X)^2(1+X))Y^5+・・・
=XY^2-{(1+X)-X^2/((1-X)(1+X))}Y^3+(1+X)Y^3+0+・・・
となりY^4の係数を消すことができ、またY^3の係数も変化はしますがもともと
要求されていた条件をみたしている範囲内での変化にとどまっています。
もちろん(1-r_0)(1-r_1)・・・とかけていくとどんどん変化していきますが全体がCauchy列で
あるためyに関するべき展開の係数もやっぱりCauchy列になることがしめせるので
それは収束してその収束先でもa_δは可逆元、とくにa_δ(0・・・0)≠0であることが
示せます。
あってるような気がしてまふ。確認してよかったらつかってやってくさい。




60 :名無しさん@どすこい:03/11/15 17:54
増健入幕確率(S,w)をCDVRとする。(wは付値イデアルでなく付値。)
R=S[[X]]に付値vを
v(把_iX^i)=min{w(c_i)+i}とさだめることにより(R,v)もCDVRになる。
Rの元F=把_iX^iにたいしT_i(F)をT_i(F)=c_iX^iでさだめる。
Rの元FがT_v(F)(F)≠0を満足するときFをよい元とよぶ。
F=把_iX^iが次数pのよい元のとき
w(c_p)=0、w(c_i)≧p-iを満足する。とくにs_pはSの可逆元である。
容易にF,Gがそれぞれ次数p,qのよい元のときFGは次数p+qのよい元である。
 
Rの元Fと非負整数の組p≦q≦rについて次の条件をかんがえる。
(P1)Fは次数pのよい元である。
(P2)v(T_i(F))≧r-1 (p+1≦i≦q)
(P3)v(T_i(F))≧r  (q+1≦i≦r)
 
この条件を(p,q,r)条件とよぶ。
 
補題1 Fがよい元ならばFは(p,p+1,p+2)条件をみたす。
(∵)自明である。□
 
補題2 Fがよい元で(p,p,r)条件をみたすならば(p,r,r+1)条件もみたす。
(∵)自明である。□


61 :名無しさん@どすこい:03/11/15 17:55
補題3 増健の体重Fがよい元で(p,q,r)条件をみたし、p≦qであるならあるG∈Rで
v(G)≧r-p-1、F'=F(1-G)が(p,q-1,r)条件をみたすものがとれる。
(∵)F=把_iX^i (c_i∈S)とする。Fは次数pのよい元なのでc_pは
可逆元である。そこでG=(c_q/c_p)X^q-pと定める。
仮定よりw(c_q)≧r-1-qゆえv(G)≧r-1-p。
よってF'=F(1-G)が(p,q,r)条件を満足することを示せばよい。
1-Gは次数0のよい元ゆえF'は次数pのよい元である。よって(P1)は成立。
またv(F)≧pゆえv_i(FG)≧r-1 (∀i)。
さらにp+1≦i≦q-1についてFが(p,q,r)条件をみたすという仮定から
v_i(F)≧r-1であるからv_i(F(1-G))≧r-1。よって(P2)も成立。
最後に(P3)をチェックする。i=qについてはT_q(F(1-G))=0ゆえよい。
q+1≦i≦rをとる。T_i(F(1-G))=(c_i-c_(i-q+p)c_q/c_p)X^i。
p+1≦i-q+p≦r-q+pゆえw(c_(i-q+p))≧r-1-(i-q+p)≧r-i。
また仮定よりv(c_i)≧rであるのでv(T_i(F(1-G)))≧rである。
以上で(P3)を満たすことがしめされた。□


62 :名無しさん@どすこい:03/11/15 17:56
また、増健の通算黒星の非負整数の組について半順序≦を
(p,q,r)≦(p',q',r') iff p=p' & (r<r' or (r=r' & q≧q'))
で定める。上の3補題から次が成立する。
 
主張4 Fが次数pのよい元であるならば非負整数の組の列
(p,q_1,r_1)<(p,q_2,r_2)<(p,q_3,r_3)<・・・とRの元の列G_1,G_2・・・で
以下をみたすものがとれる。
(1) v(G_i)≧r_(n)-p-1
(2) F(1-G_1)・・・(1_G_n)は(p,q_n,r_n)条件を満たす。
(∵)補題1〜補題3により帰納的にさだめていけばよい。□
 
このとき列((1-G_1)・・・(1_G_n)は(p,q_n,r_n))_nはCauchy列でRは完備ゆえ
極限Uが存在する。このときUが可逆であることとF'=FUがT_i(F')=0 (i≧p+1)
をみたす次数pのよい元であることは容易に確認できる。よって以下が成立する。
 
定理5 Fが次数pのよい元であるとき単元UをT_i(FU)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。
 
さらに次の補題を利用する。
補題6 S=k[[X1・・・Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φによって
φ(F)が次数pのよい元であるようにとれる。
(∵)>>317の補題□
 
よってこのとき次が成立する。
定理7 S=k[[X1・・・Xn]]のときv(F)=pである元にたいしRの座標変換φと
単元Uをφ(F)Uが次数pのよい元でT_i(φ(F)U)=0 (i≧p+1)を満足する
ようにとれる。


63 :名無しさん@どすこい:03/11/15 17:59
増健の読むマンガの数G=GL(n,K),V_t=(K[x]のt次斉次多項式のなすG加群)
とするとき任意のv∈V\{0}に対しvx=把_tx^t (c_t≠0 for some t=(0,・・・,0,*)
は反例がある。
 
−反例−
k=(2元体)、t=3、F=xy^2+x2yとおくときFはGの作用にかんし不変である。
よってもとめる形に変形することは不可能。
 
ちなみにF∈k[[x,y]]=Rとみたとき任意の座標変換φとRの単元uについて
uφ(F)の3次までの項は(x,y)=(0,Y)を代入したときk[[y]]の元として0になってしまう。
ただし3次以上の項までしらべれば0でない。前補題はkが無限体のときは成立してるので
結局まとめるとこうなった。
 
−定理−
kを体、R=k[[x1・・・xn,y]]とし0≠f∈Rをとる。v(f)=pとするとき座標変換φと単元u∈Rを
とってuφ(F)=P(x1・・・xn,y)∈k[[x1・・・xn]][y]となるものがとれる。
さらにP=把_ty^t (c_t∈k[[x1・・・xn]])と表示するときあるc_tは単元にとることができる。
とくにkが無限体のときはdegP(x1・・・xn)=pであるmonic多項式をとることができる。
 
ところでk[[x,y]]ってDVRじゃなかったっけ?どうかんがえてもI=xk[[x,y]]+yk[[x,y]]
って増健のuniqueな極大イデアルにおもえるんだけど。


64 :名無しさん@どすこい:03/11/15 18:00
以下Gは増健、eを武蔵丸引退が想定される時刻とする。

定義:
一般にH,K⊂Gとg∈Gに対して
HK:={hk | h∈H, k∈K}
gH:={gh | h∈H}

命題
1 h∈H、H<Gのとき、hH=H.
2 x, y∈G、H<G のとき、x(yH)=(xy)H.

主張(>>353はこれから従う):
a,b∈G, H<Gとするとき、
あるcがあって(aH)(bH)=cHとなるならば(aH)(bH)=abHである。

証明
まずHは部分群だからe∈Hなので、ab=(ae)(be)∈(aH)(bH).
(aH)(bH)=cH の仮定により、ab∈cH.
cHの定義から
∃h∈H s.t. ab=ch. (以下h はこれを満たすものとする)
再び(aH)(bH)=cH の仮定を使うと
(aH)(bH)=(abh^(-1))H=(ab)((h^(-1))H)=(ab)H.   //

ゆえに、増健は入幕できる


65 :待った名無しさん:03/11/27 00:18
\ 遊んでしまったものは 仕方ないでしょう ./
 .\                     ./
    ̄∨ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 ,.:´ ̄::ヽ         /ヘ;;;;;  / ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 l::;.w''w;::〉 ∧_∧ネー ';=r=‐リ< 君の一族は、そんなことも
 |(l|゚ ヮ゚ノ| ( ・3・ )   ヽ二/  \ 忘れてしまったのかね?
とjl([l个j])__(つ ___ )_(旦 と )_ \_________
∧ ̄ ∧_∧ ̄∧_∧ ̄ ̄ ̄./
  )  (    ) (    )y━~~~┃
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄\ )_/_) ┃
       .━┏  || ┃
     o   ┛  |_).┃
    O 
(ダメポ学生サヨウナラ…)


66 :待った名無しさん:03/11/27 21:39
ヘラヘラ    ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
       ./.:::::::::;:;:;:;:;:;:;:;:;:
      ./::::::::/     ヽ      ニヤニヤ
 ニヤニヤ. |:::::_::::ゝ  ⌒ ⌒ |    
      |::::|ξ|   ¬ ¬  
      ヽ ヽ     ) ‥ )   フームなるほどなるほど、
       /  └    ∀_ノ    俺には氏ぬほどよく理解できたぞ!
     /    \__ニノ \.   
                    ニヤニヤ
               ヘラヘラ


67 :待った名無しさん:03/12/20 18:51
なんかこのスレでは増健入幕代数幾何符号には未来がないようなことが、
書かれているが一言だけ言わせてもらいたい。
俺らの住んでいる世界では有限長の符号しか存在しない。
符号の絶対的指標である符号長に対するレートと最小距離が
最適化された代数幾何符号が最も優れた符号であることに異論を
持つものはいないだろ。ターボの学部の実験授業みたいなことを
して符号理論の研究者でござるみたいなことを言うやつには
ちゃんと符号理論の本を読んで勉強したことあるのとききたい。
GV限界って知ってますか。符号理論ってのは良い符号の設計に
関する学問ですよ。良く分からないけど、静かに通信できますって
それは研究ですか?まぁ、おれは符号理論の専門じゃないから
どうでもいいんだけどね。


68 :待った名無しさん:03/12/26 07:40
最高

69 :花田ヲタク:03/12/26 14:44
0%

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